Gọi H là tâm mặt đáy của hình nón, O là tâm mặt cầu (S), đường thẳng IH cắt mặt cầu (S) tại điểm K.

Đáp án A.

Kí hiệu như hình vẽ.

Ta thấy I K = r '  là bán kính đáy của hình chóp, A I = h  là chiều cao của hình chóp.

Tam giác  vuông tại K có IK là đường cao

⇒ I K 2 = A I . I M ⇒ r ' 2 = h . 2 r − h

Ta có V c o h p = 1 3 . π r ' 2 . h = 1 3 . π . h . h . 2 r − h = 4 3 π . h 2 . h 2 2 r − h .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  

h 2 . h 2 . 2 r − h ≤ h 2 + h 2 + 2 r − h 3 27 = 8 r 3 27

⇔ V c h o p ≤ 4 3 π . 8 r 3 27 = 32 81 . π r 3

Dấu bằng xảy ra khi h 2 = 2 r − h ⇔ h = 4 r 3   . Vậy ta chọn A

Phương pháp:  

+ Hình nón có chiều cao h và bán kính R thì có thể tích là 

Vì hình nón có bán kính R và chiều cao h bằng nhau nên h = R và thể tích hình nón đã cho là 

Khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và H cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón đỉnh S.

Nên bán kính mặt cầu là HS = R nên thể tích hình cầu này 

Chọn 

- Nếu H nằm ở nửa dưới đoạn SO thì \(R\ge\dfrac{SO}{2}=\dfrac{3}{2}\)

- Nếu H nằm ở nửa trên đoạn SO, thực hiện mặt cắt qua trục nón như hình vẽ

\(SO=OA=3\Rightarrow SOA\) vuông cân \(\Rightarrow SCH\) vuông cân

\(\Rightarrow CH=SH=3-OH=3-\left(R+IH\right)=3-R-\sqrt{R^2-CH^2}\)

\(\Rightarrow3-R=CH+\sqrt{R^2-CH^2}\le\sqrt{2\left(CH^2+R^2-CH^2\right)}=R\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow R\left(\sqrt{2}+1\right)\ge3\Rightarrow R\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}+1}=3\left(\sqrt{2}-1\right)\)

\(V_{min}=\dfrac{4}{3}\pi R_{min}^3=8,037\)